New PDF release: Algorithmische Geometrie: Polyedrische und algebraische

By Michael Joswig, Thorsten Theobald

ISBN-10: 3834802816

ISBN-13: 9783834802811

In dem Lehrbuch wird eine mathematisch orientierte Einführung in die algorithmische Geometrie gegeben. Im ersten Teil werden „klassische“ Probleme und Techniken behandelt, die sich auf polyedrische (= linear begrenzte) Objekte beziehen. Hierzu gehören beispielsweise Algorithmen zur Berechnung konvexer Hüllen und die Konstruktion von Voronoi-Diagrammen. Im zweiten Teil werden grundlegende Methoden der algorithmischen algebraischen Geometrie entwickelt und anhand von Anwendungen aus Computergrafik, Kurvenrekonstruktion und Robotik illustriert. Das Buch eignet sich für ein fortgeschrittenes Modul in den derzeit neu konzipierten Bachelor-Studiengängen in Mathematik und Informatik.

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In diesem Fall wählen wir einen affinen Unterraum A von R n maximaler Dimension, der in P enthalten ist. Der lineare Unterraum von R n parallel zu A heißt auch Linealitätsraum von P. Sei p ein beliebiger Punkt von P und A das affine orthogonale Komplement von A durch p. Der Schnitt P ∩ A ist ein Polyeder, das keine affine Gerade enthält, also spitz ist. Ferner gilt P = ( P ∩ A ) × A. Damit erhalten wir das folgende Lemma. 37 Jedes Polyeder ist als direktes Produkt eines affinen Unterraums mit einem spitzen Polyeder darstellbar.

Für einen beliebigen Randpunkt v ∈ ∂P sei ( A (v) | b (v)) die Teilmatrix von ( A | b) aus denjenigen Zeilen, die zu Ungleichungen gehören, die von v mit Gleichheit erfüllt werden; diese heißen aktiv in v. Da v im Rand liegt, gibt es mindestens eine aktive Ungleichung in v. Man beachte, dass ∂P( A, b) = P( A, b) gilt, falls dim P( A, b) < n ist. Die inaktiven Ungleichungen fassen wir in der Matrix ( A (v ) | b (v)) zusammen. 4) für alle v ∈ ∂P. Im Folgenden wird sich herausstellen, dass für jede Optimallösung v des LPs max {cx : Ax ≤ b} der Punkt v auch eine Optimallösung des LPs max cx : A (v) x ≤ b (v ) ist.

24 Die zu X ⊆ R n polare Menge X ◦ ist definiert als X ◦ = {y ∈ R n : x, y ≤ 1 für alle x ∈ X } . 25. Zeigen Sie für X, Y ⊆ R n : Aus X ⊆ Y folgt Y ◦ ⊆ X ◦ . 26 Sei X ⊆ R n beliebig. Dann ist X ◦ abgeschlossen und konvex, und es gilt 0 ∈ X ◦ . Beweis. Offenbar gilt 0 ∈ X ◦ . Sei x ∈ R n \ {0}. Dann ist { x }◦ = {y ∈ R n : x, y ≤ 1} = [1 : − x1 : · · · : − xn ]+ ein abgeschlossener affiner Halbraum und {0}◦ = R n . Der Durchschnitt X ◦ = ◦ x ∈ X { x } abgeschlossener und konvexer Mengen ist wiederum abgeschlossen und konvex.

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Algorithmische Geometrie: Polyedrische und algebraische Methoden by Michael Joswig, Thorsten Theobald


by Thomas
4.5

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